DE MATHEMAAT

DE MATHEMAAT

.....

Wiskunde als dagelijkse ervaring 😉

Eén tegen 100 (2)

Spel en puzzelPosted by Hans Schipper Thu, February 28, 2019 10:44:44

Eén tegen 100 (2)

Bramen zijn heerlijke vruchten, maar bij het plukken moet je erg oppassen dat je handen of je kleren niet aan de doornen beschadigen. Zo ongeveer is het ook met kansrekening. Het is een prachtig vak vol uitdagende puzzels, maar in menig kansrekeningprobleem zit een intellectuele boobytrap verborgen. Ik weet niet of het daardoor komt, maar feit is dat in de huidige eindexamenprogramma’s van HAVO en VWO de rol van Kansrekening sterk is terug gedrongen.

De afgelopen vijfentwintig jaar ben ik, onder andere in de eindexamens, vele juweeltjes van kansrekeningopdrachten tegengekomen. Het zou zonde zijn als daar niet al te veel meer mee gedaan werd en daarom bespreek ik dan maar een aantal ervan in aangepaste vorm in mijn blog. Mijn voorkeur gaat uit naar kansrekening toegepast op spel.

In een post op 4 januari ben ik begonnen met het bespreken van de kansrekening van de onvolprezen quiz Eén tegen 100. Hierin heb ik de berekeningsmethode geïntroduceerd, die ik nu verder zou willen uitwerken.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurigéén van de drie mogelijke antwoorden.

Die overige 52 tegenspelers gokken dus en daar komt de kansrekening om de hoek kijken. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 52 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^52. De uitkomst daarvan is slechts 0,000000000697 en dat is meteen de kans dat bij vraag 2 gestart wordt met 48 tegenspelers.

De kans dat één van de 52 tegenspelers goed gokt en de andere 51 fout is 52*(1/3)*(2/3)^51. (1/3) is de kans die hoort bij die ene goed gokkende tegenspeler en (2/3)^51 is de kans die hoort bij die 51 fout gokkende tegenspelers. Het getal 52 staat er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^51 kan 52 keer voorkomen. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,0000000181 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 start met 49 tegenspelers. Dat is maar liefst een factor 26 meer!!!

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat twee van die 52 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 50 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^50. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 52*51/2 combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51/2)*(1/3)^2*(2/3)^50

De leerlingen die het eindexamen maken, kunnen het antwoord (0,000000231) uitrekenen met een formule op de rekenmachine.

Opnieuw terug naar de situatie waarin 48 tegenspelers het antwoord op vraag 1 zeker weten. De 52 anderen gokken. De kans dat drie van die 52 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 49 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^49. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 52*51*50 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok is op 6 ( = 3*2*1) manieren te maken. Dus er zijn (52*51*50)/(3*2*1) combinaties van duo’s goedgokkers. De kans dat precies drie van de 52 tegenspelers goed gokken is dus (52*51*50)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^49. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,00000193 uitkomt.

Gelukkig zit er op de Grafische Rekenmachine een optie om dit snel uit te rekenen. Ook met Excel kan het, met gebruikmaking van de optie binom.verd

Op het eindexamen wiskunde b1 (2008 II) wordt begonnen met de vraag:

De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurig één van de drie mogelijkheden. Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.

Meer dan 65 betekent 66 of 67 of 68 of 69 of …… of 100. Steeds zijn er 48 zeker-weters. De vraag moet omgezet worden naar: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 17 goed-gokkers over zijn, immers 65 – 48 = 17.

Meer dan 17 betekent 18 of 19 of 20 of 21 of ….. of 52 goed-gokkers.

Ik heb dit voor u uitgerekend via Excel met de optie binom.verd.


Dit geeft in het hokjesscherm:


Op regel 36 staat de som van al deze uitkomsten en dat is meteen ook het antwoord op de eerste examenvraag: Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag meer dan 65 tegenspelers over zijn.
Nogmaals: Eén tegen 100 is serieus amusement!!





Geheimschrift (3)

GeheimschriftPosted by Hans Schipper Tue, February 26, 2019 12:59:37

Geheimen zijn elementaire ingrediënten voor drama. Romanciers en dramaturgen maken er gretig gebruik van als drijvende motor in het verhaal. In de 19e eeuw is daar het coderen en decoderen bijgekomen, dat als een derde rail fungeert om de motor sneller en verder te doen lopen. Het is een keurige truc. Het geheim van de plot verder verbergen in een cryptografische boodschap, vergroot het dramatische element diepgaand uit.

De eerste die hiervan gebruik maakte is Edgar Allan Poe, met The Murders in the Rue Morgue de grondlegger van de detective. De jaarlijkse prijzen die door Mystery Writers of America worden uitgereikt worden naar hem "Edgars" genoemd. Maar er is nog een andere primeur waarvoor Poe misschien wel onvoldoende krediet krijgt. Hij is de eerste die cryptografie en het breken van codes centraal stelt in de plot, met zijn verhaal The Gold Bug.

In het begin van de jaren 1840 daagt Poe, terwijl hij in Philadelphia voor een weekblad schrijft, zijn lezers uit om hem substitutiecryptogrammen te sturen, waarbij hij opschept dat hij over de nodige vaardigheden beschikt om ze te decoderen. Dat vinden sommige lezers, deels door bijgeloof, best wel eng. Maar velen raken geïntrigeerd en gaan op zijn uitdaging in. Vanuit het hele land ontvangt Poe inzendingen en hij ontcijfert er inderdaad vele. Er ontstaat snel veel enthousiasme. Gecodeerde puzzels raken in. Ze genieten al snel een grote populariteit in tijdschriften en kranten, een affiniteit die tot op de dag van vandaag in de vorm van cryptische kruiswoordraadsels voortduurt.

Als hij de stijgende vraag ziet, speelt Poe in op de trend met zijn in 1843 gepubliceerde korte verhaal, The Gold Bug. Drie mannen vinden een mysterieuze gouden scarabee en een gecodeerde perkamenten brief. Dat leidt uiteindelijk tot de ontdekking van een grote piratenschat, begraven op de moerassige kust bij Charleston, S.C.


Het is leerzaam te onderzoeken hoe geheimschriften worden opgesteld. Aan het eind van de 19e eeuw worden geheimschriften al in gidsen op de markt gebracht. In deze tijd zijn deze handmatig uitgevoerde coderingen een bron voor leuke puzzels en spellen. Je kunt er hele spelletjesmiddagen mee organiseren! Ik vond een Duits lexicon dat voorziet in een uitputtend overzicht. Hieruit bespreek ik regelmatig methodes. Deze methodes zijn niet moeilijk. Ook makkelijke wiskunde kan leuk zijn!

De Chinese methode


Het Chinese schrift mag verticaal geschreven worden. Daarom wordt de hieronder besproken methode ook wel de Chinese methode genoemd ... nou ja. De basis is het onderstaande schema.


Het invoegen van de letters in dit schema, net zoals in alle volgende schemata, moet altijd gebeuren in de natuurlijke volgorde van de cijfers (1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, enz.).

Stel de “plaintext” is: zoals afgesproken, bezoek ik jou

Deze tekst wordt als volgt bewerkt:


Horizontaal aflezend wordt de ciphertext: oenpazukbrfoieogakzkeljoess.

Er kan ook een verdere vercijfering plaatsvinden of simpelweg diagonaal worden afgelezen, zodat de ciphertext wordt: zaopfanrgleboesokeksuizekoj.

Variant 1:


Variant 2:


Variant 3:


Variant 4:


Variant 5:


Variatie 6 en 7: Begin respectievelijk rechtsboven en rechtsonder, waarbij de afzonderlijke kolommen in zigzag- of slangenlijnen (d.w.z. in gekoppelde volgorde zoals bij de Varianten 4 en 5) zijn gevuld met de cijfers.

In mijn post “Geheimschrift (2) heb ik het gebruik van nieten behandeld. Zie https://demathemaat.hansschipper.nl/#post46. Ook bij de Chinese methode kunnen die natuurlijk worden gebruikt.

Bron:

Hans Schneickert (1900), Moderne Geheimschriften, Mannheim, Dr. Haas’schen Druckerei



De Beale-code

GeheimschriftPosted by Hans Schipper Mon, February 25, 2019 19:38:16

In een vorige post verhaalde ik over het kraken van de Enigma-versleuteling met behulp van een van de eerste computers door Alan Turing en zijn team. Daarmee is niet gezegd dat computers in staat zouden zijn alle oude geheimschriften te breken. Het tegendeel is waar: er bestaan oude, erg knappe, nog steeds niet gebroken cryptografieën. Een voorbeeld van een code die na tweehonderd jaar nog steeds maar gedeeltelijk gebroken is, is de Beale-code. Door het breken van deze code zou het mogelijk zijn de verblijfplaats van een schat ter waarde van 43 miljoen dollar te ontdekken. Jammie dat smaakt naar meer. In zijn mooie boek “De wraak van Archimedes” schat journalist Paul Hoffman dat ten minste tien procent van de beste crypto-analytische geesten in de Verenigde Staten pogen de Beale-code te breken. Dat is geen weg gegooid geld geweest, want door te werken aan de Beale worden vele nieuwe ontdekkingen gedaan die de computerwetenschap enorm vooruitgeholpen hebben.

Rondom de Beale-code bestaat een romantisch verhaal. In januari 1820 komt te paard een lange, duistere, ruige en knappe vreemdeling met koolzwarte ogen en ravenzwart haar aan in het Washington hotel te Lynchburg, Virginia. Hij stelt zich aan hoteleigenaar Robert Morriss voor als Thomas Jefferson Beale. Omdat Beale tevreden is over het hotel, blijft hij de hele winter. Beale blijkt een innemende gast, om zijn mannelijke schoonheid geliefd bij de dames en benijd door de heren. Hij onthaalt de hotelgasten op verhalen over elk denkbaar onderwerp. Hij spreekt echter nooit over zijn familie, afkomst of woonplaats. Eind maart vertrekt hij in alle stilte met onbekende bestemming.


Bijna twee jaar lang verneemt men niets van hem, maar in januari 1822 verschijnt hij plotseling onaangekondigd in het hotel. Hoffman schrijft dat hij net zo briljant is als altijd, maar duisterder en knapper dan ooit. Zijn zongebruinde huid doet vermoeden dat hij echt een avontuur beleefd heeft. Met name de vrouwen zijn blij met zijn terugkeer. Enkele maanden later verdwijnt hij opnieuw. Bij de hoteleigenaar laat hij een gesloten ijzeren kist in bewaring achter. In de zomer ontvangt de hoteleigenaar een brief met beschrijvingen van Wildwest avonturen, die Beale zegt te beleven, alsmede de mededeling dat het nog wel een paar jaar kan duren voordat hij terugkomt.

“Over de kist die ik aan u toevertrouwd heb kan ik kort zijn. Deze bevat papieren die van groot belang zijn voor het fortuin van mij en mijn medewerkers. Het verlies ervan bij mijn dood zou onherstelbaar kunnen zijn. U zult dan ook begrijpen dat deze kist met waakzaamheid en zorg omringd dient te worden, teneinde een grote catastrofe te voorkomen. De kist bevat ook enkele aan u gerichte brieven die nodig zijn om u te informeren over de zaken die ons bezighouden. Mochten ik en mijn medewerkers de kist niet binnen tien jaar na dagtekening van deze brief komen opeisen, dan kunt u haar openbreken.

U zult naast de aan U gerichte brieven ook andere papieren aantreffen, die alleen met behulp van een decoderingssleutel gelezen kunnen worden. Deze sleutel heb ik verzegeld en met uw adres erop aan een vriend toevertrouwd met het opschrift “Niet bezorgen vóór juni 1832”. Door middel van die sleutel zult u volledig begrijpen wat er van u verlangd wordt.”

De hoteleigenaar heeft nooit meer iets van Beale gehoord. Als de zomer van 1832 aanbreekt ontvangt hij de decoderingssleutel niet. Pas in 1845 komt hij eraan toe de kist open te breken. Binnenin vindt hij twee aan hem geadresseerde brieven, een lange informatieve en een korte oninteressante. Verder zijn er oude kwitanties en enkele vellen papier die volgeschreven zijn met reeksen getallen.

De lange brief, gedateerd 4 januari 1822, begint als volgt: U zult na lezing onder de indruk zijn van de aan u toegekende verantwoordelijkheid en het in u gestelde vertrouwen. De redenen hiervoor zijn eenvoudig uit te leggen. Wij hebben iemand nodig die onze wensen kan uitvoeren voor het geval een ongeval ons treft. Wij hebben u gekozen omdat u bekend staat als een integer man met een scherpzinnig zakelijk inzicht. Ik heb geruime tijd in uw hotel doorgebracht om dit persoonlijk te kunnen vaststellen.

Vervolgens beschrijft Beale hoe hij met een joviale bende van 29 vrienden, allemaal verzot op avontuur, liefst met enig gevaar vermengd, in april 1817 een jachtexpeditie onderneemt naar het Wilde Westen. In het voorjaar volgt de groep jagers, geplaagd door vermoeidheid, verveling en guur weer, ongeveer vijfhonderd kilometer ten noorden van Santa Fé een immense kudde bizons in een diep ravijn. Als ze kamp opslaan ontdekt één van hen goud in een rotsspleet.

Geholpen door bevriende indianen winnen ze de volgende achttien maanden goud en zilver. Beale en zijn vrienden brengen de buit naar Virginia, waar ze de schat willen opslaan in een grot die ze al eerder hebben bezocht. Maar uiteindelijk vinden ze het toch een te onveilige plaats. De boeren uit de omgeving gebruiken de grot als koelcel voor hun producten. Beale en zijn kornuiten zoeken en vinden een andere bergplaats. Na wat heen en weer gereis deponeren de avonturiers nog meer goud in de geheime bergplaats en brengt Beale de ijzeren kist naar Morriss.

Er zijn drie papieren met cijfers. Het eerste zou exacte locatie van de schat bevatten. Het tweede zou een beschrijving geven van de schat zelf. Op het derde zouden de namen en adressen van de dertig avonturiers staan. Morriss mag de schat in eenendertig gelijke delen, verdelen over de familieleden van de avonturiers en één deel voor zichzelf houden. “Om kort te gaan, waarde vriend, ik verzoek u geen valse of ijdele vormelijkheid te betrachten om te voorkomen dat u het toekomende deel ontvangt en in bezit neemt. Het is een geschenk, niet alleen van mijzelf, maar van allen in onze groep. Het weegt ruimschoots op tegen de van u gevraagde inspanningen.”

Het laat zich begrijpen dat Morriss’ nieuwsgierigheid geprikkeld wordt door de inhoud van de kist. De overlevering vertelt dat hij minder door hebzucht wordt bewogen dan door de wens het in hem gestelde vertrouwen niet te beschamen. Hij wijdt de laatste 19 jaar van zijn leven aan het zoeken naar de schat. Zonder decoderingssleutel boekt hij evenwel geen vooruitgang. Als hij zijn einde voelt naderen neemt hij zijn barman James Ward in vertrouwen. Ward is een rustige huisvader die genoeg gespaard heeft om de rest van zijn leven te besteden aan het vinden van de schat. Het wordt zijn ondergang. Hij raakt volledig geobsedeerd door de codes nadat hij erin slaagt de tweede bladzijde, met de beschrijving van de inhoud, te ontcijferen. De ontcijfering van de tweede bladzijde zou een feestje waard zijn geweest, ware het niet dat hij daarna alles opgeeft wat hij heeft, familie, vrienden en eerlijke bezigheden, voor wat een illusie zal blijken te zijn. Hij zwoegt, ploetert en lijdt aan slapeloosheid. Keer op keer monden zijn werkzaamheden uit in teleurstelling.

Tot op de dag van vandaag is het breken van de Beale-codes onderwerp van studie voor vele knappe koppen. Het prachtboek “De wraak van Archimedes” van Paul Hoffman geeft er een bespreking van. Ook Wikipedia geeft veel informatie over deze romantiek van de wiskunde.

bronnen:
1) Paul Hoffman (1989), De wraak van Archimedes, Amsterdam, Bert Bakker
2) https://en.wikipedia.org/wiki/Beale_ciphers gedownload op 25-02-2019

Een Calatravawandeling door Haarlemmermeer

BouwenPosted by Hans Schipper Tue, February 12, 2019 13:18:02

De aanleiding

Geïnspireerd door het prachtige boek “De nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” van Jane en Mark Burry heb ik op een winderige zaterdag 9 februari 2019 een Calatrava wandeling ondernomen door Haarlemmermeer. In genoemd boek wordt aandacht gevraagd voor een andere manier van gebruik maken van de wiskunde bij het ontwerpen van gebouwen. De inleiding is geschreven door Brett Steele van de Architectural Association in Londen en ik ben zo vrij stukken hieruit te citeren:

Jan en Mark Burry geven een fantastisch beeld van het fascinerende spel dat de hedendaagse architectuur en de wiskunde met elkaar spelen. (...) Architecten hebben altijd wiskunde nodig gehad, in ieder geval vanaf het moment dat een van hen met een stok een rechte hoek in het zand tekende en besefte dat getallen een goed hulpmiddel waren om het architectonische idee aan iemand anders over te dragen. (...) Dat de wiskunde sterk verbonden is met de architectuur is voor bouwkundigen vanouds een vanzelfsprekend gegeven. De theoretische grondslag hiervoor heeft Vitruvius zo’n tweeduizend jaar geleden gelegd in zijn klassiek tien boeken “Over de bouwkunst”. (…) Zeggen dat wiskunde een integraal onderdeel van de architectuur vormt, is hetzelfde als zeggen dat getallen handig zijn bij het tellen. (…)

Wat is er dan zo bijzonder aan de huidige dialoog tussen architectuur en mathematica? (…) De kracht en de complexiteit van de mathematische processen in de architectuur zijn groter geworden en tegelijkertijd is de pure wiskunde binnen de architectonische taal en het architectuurdebat op haar retour. Architecten spreken niet langer de taal van hele getallen of voorspelbare geometrische vormen, net zomin als van tekeningen met vaste dimensies of meetbare schalen. Dit is uiteraard te danken aan een andere hedendaagse revolutie: Het feit dat architecten op hun bureaus vrijwel universeel gebruikmaken van digitale ontwerpplatforms, die niet alleen de basis voor de architectonische praktijk zijn geworden, maar ook het communicatiemiddel bij uitstek om ideeën te ontwikkelen en te verspreiden.

Als we het hebben over het intensieve gebruik van computers en informatiesystemen door ontwerpbureaus, zien we vaak over het hoofd dat hierbij wiskundige processen alomtegenwoordig zijn. Deze blindheid is deels te verklaren doordat programma’s zo ontworpen zijn dat ze proberen hun geavanceerde wiskundige achtergrond achter hun uiterlijk te verbergen. Denk bijvoorbeeld eens aan de meest basale of traditionele architectonische ontwerpactiviteiten, zoals het tekenen van een lijn. Deze activiteit die met simpele muisklikken en toetsaanslagen wordt uitgevoerd vereist binnen een digitale ontwerpomgeving een verbijsterende reeks met onvoorstelbare snelheid uitgevoerde wiskundige operaties van verbluffende complexiteit.

En dit is het moment waarop de dingen opeens heel interessant zijn geworden met betrekking tot de huidige wederopleving van de relatie tussen architectuur en wiskunde. Doordat de wiskunde verstopt zit in computersoftware, is er een lacune ontstaan in de architectentaal. Die wordt nu opgevuld door de wiskunde juist heel erg zichtbaar te maken in het ontwerp. Het boek “De Nieuwe Mathematica van de Hedendaagse Architectuur” staat vol met prachtige voorbeelden hiervan. Lezen dat boek!

Gevierd en berucht
De bouw van drie, door de beroemde en verguisde Spaanse architect Santiago Calatrava Valls ontworpen bruggen, zal niet onopgemerkt aan de Nederlandse krantenlezer en televisiekijker voorbij gegaan zijn. Met de uitvoering ging het zoals met veel van zijn bouwwerken. Wikipedia zegt over hem: Hij creëert veel vernieuwende werken met oog voor zowel de vormgeving als de structuur. Aan de andere kant krijgt hij veel kritiek wegens ontsporende budgetten en bouwtermijnen alsook een lage functionaliteit en lage klantentevredenheid.

Wie wil kan op internet veel boze artikelen over hem vinden. Die gaan over kosten en slordige afwerking. Ik vind zijn werken vooral erg mooi en wiskundig interessant. Het is jammer dat de wiskundige en esthetische kant van zijn werk zo door de negatieve kritiek, die er natuurlijk ook mag zijn, overschaduwd wordt. Ik raad het een ieder aan mijn wandeling langs de Hoofdvaart van Nieuw Vennep naar Hoofddorp een keer te doen en rustig stil te staan bij elk van de drie bruggen om van de schoonheid te genieten.

Hoe heb ik het aangepakt
Omdat Haarlemmermeer een terra incognita voor mij was, heb ik de locaties van de drie bruggen eerst maar eens in Google Maps opgezocht. De bruggen verbinden de oevers van de Hoofdvaart en wel tussen Nieuw Vennep en Hoofddorp. Beide plaatsen liggen aan de spoorlijn van Amsterdam Centraal naar Leiden en er stopt een Sprinter. Het ligt voor de hand er mijn eigen ns-wandeling” van te maken. In Google Maps teken ik onderstaande eenvoudige wandeling.


De reis
Het is mijn bedoeling vanaf Amsterdam Centraal eerst met de Sprinter naar Nieuw Vennep te rijden. Door werkzaamheden gaat de trein echter niet verder dan Schiphol Airport, waardoor ik op zeker moment in een optocht van rolkoffers over het perron naar een lichtelijk overbevolkte roltrap schuifel. Vrolijk verbaas ik mij over de vele verschillende talen ik om mij heen hoor spreken. Eenmaal buiten gekomen waai ik met windkracht 7 van het ene busplatform naar het andere tot ik aanland bij een jongeman in een geel hesje die mij bevestigt dat binnen afzienbare tijd hier de speciale NS-bus naar Nieuw Vennep gaat stoppen.

“U hebt een cool beroep, met deze lage temperaturen, verergerd door de harde wind.” merk ik op.

“Zegt u dat wel, meneer,” klappertandt de werkstudent, blij dat er eindelijk eens iemand oog heeft voor zijn Siberische omstandigheden. “Ik sta hier al vanaf vanochtend half vijf.”

Ik vraag me af of ik hem een van mijn boterhammen met kaas zal aanbieden, maar overweeg dat dit als een te grote opdringerigheid kan worden ervaren. In deze tijd lijkt de jeugd welhaast nog alleen broodjes van de over toonbank te eten, maar ik kan mij vergissen natuurlijk.

“U bent lekker dik gekleed, zie ik,” geef ik uiting aan het resultaat van mijn observaties, want zulke brede schouders heeft een student van zijn leeftijd nou ook weer niet.

“Wat denkt U? Een hemd, twee T-shirts, een overhemd, een dikke trui van mijn vader, een bodywarmer, een winterjas …”

“En een geel hesje,” vul ik aan.

“Ja, maar daar moet u niets achter zoeken.”

Ik haast me te zeggen dat ik dat ook echt niet doe. In deze tijd van opstanden door in gele hesjes geklede heethoofden kan men niet voorzichtig genoeg zijn.

“Alleen jammer dat ik vergeten ben een thermobroek onder mijn gewone broek aan te trekken.”

“Toen ik nog student was, hield ik bij dit soort uitzendwerk ’s ochtends gewoon mijn pyjamabroek aan als ik mijn spijkerbroek aantrok.” zeg ik, want dat lijkt me een interessante bijdrage aan de discussie.

Hij kijkt me aan met een blik van “pyjamabroek wat is dat” en richt zich vervolgens op andere passagiers om in een Babylonische spraakverwarring te trachten met zijn beste Engels, Frans of Duits allerlei Zweden, Japanners, Indiërs, Italianen, Afrikanen en Brazilianen verkleed als Eskimo’s de juiste bus in te krijgen.

Eenmaal in de juiste bus gezeten, kijk ik tevreden om mij heen. Dat regelen de Nederlandse Spoorwegen toch altijd maar goed. Van treinreizigers in België en Frankrijk hoor ik wel eens dat men daar het verder zelf maar moet uitzoeken als een traject uitvalt. Het kan zijn dat de reiziger daar in “the middle of nowhere” zich vertwijfeld afvraagt waar hij heen moet, als hij zojuist uit een kapotte trein is gestapt. Dat doet de N.S. toch echt veel beter.

In Nieuw Vennep aangekomen loop ik bij het station via de Venneperweg, hoe verzinnen ze het. Bij de Witte Kerk sla ik rechtsaf de Hoofdweg langs de Hoofdvaart in. Ik weet dat ik tot Hoofddorp deze Hoofdweg via het fietspad moet volgen – hoofdzakelijk zou ik er bijna aan toevoegen.

HARP
Aan de rand van de bebouwde kom ontwaar ik al snel de contouren van de eerste door mij zo bewonderde brug.


Dichterbij gekomen ontwaar ik een vrij liggend grasveld vanaf waar ik kan fotograferen.


Esthetisch heel fraai en wiskundig zeer verantwoord aan deze brug is natuurlijk de kromme lijn, die lijkt te ontstaan door het samenspel van al de rechte tuidraden. In mijn onvolprezen wiskundeprogramma Geogebra kan ik dit nabootsen. Wiskundig gezien komt het hier op neer: als ik van een kromme lijn heel veel raaklijnen teken, ontstaat een beeld van de oorspronkelijke kromme lijn, zonder dat ik die ook daadwerkelijk teken. In onderstaand plaatje heb ik van de functie f(x) = 1/x een hele serie raaklijnen getekend. Deze raaklijnen omsluiten samen de oorspronkelijke grafiek van de functie. Het lijkt zelfs of ik die getekend heb, maar dat is dus niet zo.


Bovenop het talud, kan ik veilig op een verkeersheuveltje midden op de rijbaan plaats nemen om de volgende foto te scoren:

HARP zorgt er voor dat men, rijdend op de Noordelijke Randweg, de overkant van de Hoofdvaart zonder tewaterlating kan bereiken. De brug is 143 meter lang. Lengte pyloon: 82 meter.

In de zomer kan ik mij een zonnige picknick op het grasveld, onderwijl genietend van het uitzicht op de schoonheid van HARP, best voorstellen. Op dit moment nodigen de weersomstandigheden niet echt uit tot zitten in het koude gras en ik vervolg mijn weg schielijk, daarbij geholpen door wind in de rug.

De volgende brug die ik tussen het geboomte ontwaar heet

CITER


Indrukwekkend, toch? Het zijn eigenlijk twee bruggen. De semi-fietsbrug, links op de foto is parallel aan de Hoofdvaart over de Nieuwe Bennebroekerweg. Minder goed te zien is hier een autobrug over de Hoofdvaart. Lengte pyloon: 62 meter.


Door de lage zon lukt het met niet om een redelijke foto vanaf de andere kant te maken. Wel heb ik van Google Maps onderstaande foto gepikt. Vanuit de lucht is de fraaie structuur min of meer te zien.


Bij CITER is de wind op zijn heftigst en de plek nodigt daardoor niet uit tot een lang verblijf. Ik vervolg mijn weg via het fietspad, waar ik in totaal, gedurende het uur dat ik er loop, drie fietser ontmoet.

LUIT
De derde Calatravabrug voert de Maria Tesselschadelaan over de Hoofdvaart in Hoofddorp. De brug dient tevens als rotonde. Lengte pyloon: 48 meter.



Als je er omheen loopt geven de tuidraden je steeds een ander beeld.




Het station Hoofddorp is vanaf deze plaats makkelijk te vinden. Je loopt het fietspad richting Hoofddorp verder af, totdat je een bordje "station" ziet. De trein brengt je terug naar Amsterdam Centraal.
In totaal ben je met deze wandeling, inclusief treinreizen, zo'n twee en een half uur onderweg.




Negentiende eeuwse hightech

LezenPosted by Hans Schipper Sat, January 12, 2019 21:33:06

Met kerst kreeg ik Wächter der See, Die Geschichte der Leuchttürmecadeau, een Duitse vertaling van Sentinels of the Sea. A Miscellany of Lighthouses Pastvan de hand van de productieve Britse historicus en publicist R. G. Grant.


Net als de vele beschreven vuurtorens is het boek zelf een waar kunststuk. Het is zo rijk geïllustreerd dat het alleen al als plaatjesboek het bekijken waard is.

Vuurtorens werden in de negentiende en de twintigste eeuw in de frontlinie gebouwd van de menselijke strijd tegen de krachten van de natuur. De noodzaak tot het bouwen van krachtige bakens op de kusten van Engeland en Frankrijk werd ingegeven door het gigantische aantal slachtoffers dat viel bij het op de kust lopen van schepen.

Halverwege de achttiende eeuw bouwde de Engelse ingenieur Smeaton de eerste moderne vuurtoren, op een eilandje voor de kust van Plymouth, Eddystone. Smeaton wilde de hele toren uit steen bouwen. Bij vroegere vuurtorens bleek de houtbouw te brandgevaarlijk te zijn. Bovendien geloofde Smeaton dat de grotere massa van een stenen gebouw beter bestand zou zijn tegen de kracht van de golven. Voor de vorm van zijn toren oriënteerde hij zich op een eik die, zoals hij schreef, "breed is aan de basis, slank wordt naar het midden en taps toeloopt tot een punt aan de top". Hij huurde een team van 24 arbeiders in, de ene helft steenhouwers, de andere helft mijnwerkers van tinmijnen in Cornwall. Om tijdrovende reizen van het vasteland naar het rif en terug tot een minimum te beperken, bouwde Smeaton een drijvende verblijf op een haringboot voor anker bij het rif.

De stenen blokken werden met elkaar verbonden tot een stevige, onverplaatsbare massa. Elk blok binnen een horizontale steenlaag werd aan de andere verankerd met behulp van zwaluwstaarten, een verbindingstechniek die door timmerlieden werd gebruikt. "Deuvels" van marmer en houten spijkers - een uit de scheepsbouw overgenomen techniek - koppelde de stenen lagen verticaal aan elkaar. Alle stenen blokken werden precies uitgehouwen op een bouwterrein, voordat ze naar de rotsen werden getransporteerd en met een door Smeaton ontworpen hefinrichting naar de bouwplaats werden gehesen. De Eddystone vuurtoren hield het maar liefst 100 jaar uit. Een grote technische prestatie in de ruwe wateren ten zuiden van Engeland.


Zijn ontwerp werd geperfectioneerd door de Schotse bouwer Robert Stevenson, grootvader van de beroemde schrijver. Stevenson bouwde rond 1800 de Bell Rock vuurtoren en hiervoor bracht hij enkele verbeteringen aan in het ontwerp van Smeaton. Stevenson had Smeaton zeer hoog staan. Het speciaal gebouwde schip dat voor aan- en afvoer van arbeiders en materiaal zorgde, werd Smeaton gedoopt. Extra handicap voor Stevenson was dat slecht twee keer drie uur per dag bij eb gewerkt kon worden, omdat alleen dan het eiland boven water kwam.

Met als helden de vuurtorens zelf, beschrijft Sentinels of the Sea het ingenieursgenie dat het mogelijk maakte om zelfs op de kleinste rotsformaties te bouwen en de innovaties die de lichten zo krachtig en betrouwbaar maakten.


Gebeurde de verlichting in de achttiende eeuw nog met kaarsen, in de negentiende eeuw verschenen steeds krachtiger (gas)lampen en natuurlijk de Fresnel-lens.

Het beheer van de vuurtoren was een eenzaam en veeleisend karwij. Soms was het wekenlang slecht weer en dan waren de vuurtorenwachters volledig geïsoleerd. Er worden verhalen verteld van vuurtorenwachters die er aan ten onder gingen en anderen die heldhaftig drenkelingen redden. Wie ’s nachts bovenin dienst had, had het niet breed. Een nacht lang door brengen in een draaiende lichtkoepel terwijl de wind op de ruiten beukt is geen pretje. De golven klommen soms tot bij de top omhoog langs de toren. Ook in sociaal opzicht eiste het werk veel van de mannen en de vrouwen. Het was een kleine gemeenschap waar binnen spanningen makkelijk op konden lopen.


In onze tijd zijn vuurtorens overbodig geworden. Gelukkig worden ze in stand en aan de gang gehouden door vrijwilligers met subsidies van overheden of particulieren. De vuurtoren is uitgegroeid tot een cultuurmonument dat onze kusten op esthetische wijze verrijkt. Dit mooie boek eert de geschiedenis van de vuurtorens. Wie uit romantische of technische interesse van vuurtorens houdt zou er eens een kijkje in kunnen nemen. Het is een mooie cadeautip en het siert de salontafel zeker.





Eén tegen 100

Spel en puzzelPosted by Hans Schipper Fri, January 04, 2019 13:50:02

In de goede oude tijd, toen mijn kinderen nog thuis woonden, stond iedere week het onvolprezen programma “Eén tegen 100” aan. Vol vuur riep ik de, volgens mij, goede antwoorden. Een van mijn dochters zei me wel eens dat ik mij aan moest melden voor een uitzending, maar zo fanatiek was ik nou ook weer niet. Vanaf 2000 werd het spel uitgezonden door de publieke omroep, om in 2007 door RTL te worden overgenomen. Daarna kwam het terug bij de publiek omroep en zojuist lees ik dat het binnenkort weer naar RTL 4 verkast. Gelukkig verhuist Caroline Tensen mee.

De afgelopen jaren ontstond een discussie of het programma wel voldoende past bij de publieke omroep. Het programma zou “alleen maar” amusement zijn. Gek eigenlijk. Als een kennistoets vrolijk en spannend is, wordt het als “alleen maar” amusement gezien. Wetenschap mag niet leuk zijn of zo. Nou ja, zeg. In ieder geval is de quiz een serieuze inspiratiebron geweest voor een Wiskunde-A-dag op het VWO en voor een stevige kansrekeningopgave bij het HAVO examen wiskunde B1 (2008 tweede tijdvak). In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het spel die ik hieronder zal bespreken.

Bij “Eén tegen 100” worden vragen gesteld, voorzien van steeds drie mogelijke antwoorden. Eén daarvan is het goede antwoord. Als de kandidaat dit goede antwoord kiest, gaat hij door naar de volgende vraag. In de zaal zitten 100 tegenspelers die de vragen ook beantwoorden. De tegenspelers die het goede antwoord hebben gegeven, gaan ook door naar de volgende vraag. De rest valt af.

Als de kandidaat een fout antwoord geeft, is het spel afgelopen.

Stel dat de eerste vraag voor de kandidaat geen probleem is. Wat is de kans dat het spel meteen uit is?

Dat betekent dat van de 100 tegenspelers niemand het goede antwoord weet, waardoor iedereen moet gokken en iedereen dan ook nog het foute antwoord geeft. De kans dat een tegenspeler het antwoord goed gokt is natuurlijk 1/3 en de kans dat een tegenspeler het antwoord fout gokt is 2/3. De kans dat alle 100 gokkende tegenspelers het antwoord fout gokken is (2/3)^100. De uitkomst daarvan is slechts 0,00000000000000000246.

Hoe groot is de kans dat één tegenspeler goed gokt en de andere tegenspelers het foute antwoord kiezen? De kans dat één van de 100 tegenspelers goed gokt en de andere 99 fout is 100*(1/3)*(2/3)^99. (1/3) is de kans die hoort bij die ene, het goede antwoord gokkende, tegenspeler en (2/3)^99 is de kans die hoort bij die 99 fout gokkende tegenspelers. Het getal 100 moet er ook bij, want de uitkomst (1/3)*(2/3)^99 kan 100 keer voorkomen. Immers iedere tegenspeler kan góed-gokken. De uitkomst van deze mogelijkheid is 0,000000000000000123 en dat is meteen de kans dat het spel bij vraag 2 verder gaat met 1 tegenspeler.

Nu beginnen we echt. We gaan weer terug naar de situatie dat niet één tegenspeler het antwoord op vraag 1 zeker weet. De kans dat twee van die 100 (mevrouw Jansen en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 98 fout gokken is (1/3)^2*(2/3)^98. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-Kok is dezelfde als Kok-Jansen dus er zijn 100*99/2 combinaties van duo’s goed-gokkers. De kans dat precies twee van de 52 tegenspelers goed gokken is dus
(100*99/2)*(1/3)^2*(2/3)^98 en dat is 0,00000000000000304.

Opnieuw terug naar de situatie waarin alle tegenspelers het antwoord op vraag 1 gokken. De kans dat drie van die 100 (mevrouw Jansen, meneer de Vries en meneer Kok bijvoorbeeld) het antwoord goed gokken en dat de andere 97 fout gokken is (1/3)^3*(2/3)^97. Hoeveel van die combinaties goed-gokkers zijn er? 100*99*98 ben je in eerste instantie geneigd te zeggen, maar de combinatie Jansen-deVries-Kok komt op 6 ( = 3*2*1) manieren voor. Dus er zijn (100*99*98)/(3*2*1) combinaties van tripels goed-gokkers. De kans dat precies drie van de 100 tegenspelers goed gokken is dus (100*99*98)/(3*2*1)*(1/3)^3*(2/3)^97. Met de rekenmachine kunnen we uitrekenen dat daar 0,0000000000000497 uitkomt.

Er komen steeds erg kleine getallen uit, en pas bij aantal goed-gokkers = 17 is het aantal nullen naar vier geslonken. De volgende tabel ontstaat:


In de tabel kun je zien dat de kans dat 40 tegenspelers verder mogen met vraag 2 0,03075091 is, ervan uitgaande dat alle tegenspelers gokken. Die veronderstelling is wat verre gaande en daarom zal ik mijn volgende post beschrijven wat verandert als er vanuit wordt gegaan dat ook een aantal tegenspelers het goed antwoord wéét. En daarmee zijn we dan eigenlijk pas echt bij de examenvraag aangeland.

Hieronder de grafiek die bij de tabel hoort. De verdeling is redelijk symmetrisch en lijkend op de normale verdeling. Het midden ligt bij 33 en dat is gelijk aan (1/3)*100, zoals het ook hoort te zijn.

Zo serieus kun je amusement nemen!





Longitude door Dava Sobel

LezenPosted by Hans Schipper Thu, January 03, 2019 11:45:57

Op een van mijn Engelandreizen heb ik de lange zit in de bus veraangenaamd met het lezen van “Longitude, the true story of a lone genius who solved the greatest scientific problem of his time”. De introductie is geschreven door niemand minder dan Neil Armstrong, die daarin vertelt over zijn jeugd in Ohio, waar er maar twee bronnen waren met accurate tijd: de radio en “the courthouse clock”. Sommigen moesten daarop blindvaren omdat zij geen polshorloge hadden, anderen hadden er wel één en die ondervonden dat bijstelling van de tijd regelmatig nodig was. Dat is een mooi beeld om het lezen van de roman van Dava Sobel mee te beginnen, want precies de tijd weten is lange tijd een zaak van voortdurende aandacht geweest.

Longitude is ook in Nederland uitgegeven

Dava Sobel's Longitude behaalde de status van bestseller op de New York Times nonfiction lijst in zowel hardcover als paperback. Dat is een grote prestatie.

Longitude is deels biografie, deels geschiedenis en deels wetenschappelijke exploratie. Het gaat over de zoektocht naar een nauwkeurige manier om de lengte op zee te bepalen. In tegenstelling tot de breedtegraad, die met eenvoudige middelen kan worden vastgesteld, wordt de lengtegraad met behulp van tijd bepaald. Om precies te zijn: je moet de tijd weten waar je bent en tegelijkertijd de tijd op een bekende lengtegraad, bijvoorbeeld de nulmeridiaan in Londen. Maar de tijd meet je met een klok en door al dat schudden van het schip was iedere klok als snel van slag. Het longitudinale probleem bleef tergend lang onopgelost. Het was een kwestie van leven en dood voor de zeevarenden. Als je je lengtegraad niet kende, kon je niet precies weten waar je was. Dat kon betekenen dat je met je schip te pletter voer op de rotsen of dat je je bestemming niet kon vinden. Verhalen zijn bekend van schepen die wekenlang rondvoeren op zoek naar een eiland om vers water te bunkeren. Vele duizenden manschappen vonden in de loop van de eeuwen op tragische wijze de dood als gevolg van dit gemis aan navigatie kennis en vaardigheden.

Timmerman en klokmaker John Harrison met twee versies van zijn chronometer, naar een olieschildering van Thomas King uit 1767

De Longitude Act van 1707 van het Britse Parlement stelde een prijs vast van 20 000 pond (een paar miljoen euro vandaag de dag) voor een "Praktische en Nuttige” oplossing van het probleem. Hiermee ging een race van start met zeer uiteenlopende deelnemers. Er waren twee scholen, die verschillend dachten over het longitudinale probleem. De wetenschappelijke school beweerde dat de oplossing lag bij het in kaart brengen van de hemel. De meeste wetenschappers van die tijd minachtten degenen die de andere weg van onderzoek hebben gevolgd: zij die geloofden dat de oplossing lag in het bouwen van een precisie tijdsinstrument. De held van het verhaal, John Harrison, een Engelse klokmaker, die zijn leven besteedde aan de zoektocht hoorde bij de laatste stroming.

Sobel volgt de vooruitgang van Harrison in de lengtegraad-race, en al de moeite de hij heeft moeten doen en met name de minne behandeling die hij heeft ondervonden. Weinig is eigenlijk bekend van het leven van Harrison, maar veel van de bittere rivaliteit tussen de astronomen en de 'mechanica' wordt gedetailleerd beschreven in historische documenten. Het is de strijd tussen deze twee facties die ervoor zorgt dat het boek tot het eind blijft boeien.

Sobel schrijft met helderheid en vitaliteit, met inbegrip van interessante kleine historische terzijdes die de lezer helpen het verhaal in zijn tijd te plaatsen. Haar stijl betovert.

Harrison heeft amper school gegaan en het lukt hem zelden zich fatsoenlijk schriftelijk te uiten. Dat is een van de aspecten van zijn persoonlijkheid die de lezer er toebrengt hem sympathiek te vinden. Hij moet toch maar opboksen tegen die arrogante Cambridge/Oxford elite met haar afschuwelijk dedain.

De strijd begint als Harrison in de dertig is en eindigt rond zijn tachtigste. De koning is het hele verhaal ter ore gekomen en hij grijpt in. Harrison strijkt zijn 20 000 pond op. De astronomen bijten in het stof. Eind goed al goed.

Op een van mijn Engelandreizen was ik zo gelukkig om de vier door Harrison gebouwde precisie-instrumenten te aanschouwen in het museum bij de Royal Observatory in Greenwich.

De Harrison chronometer nr. 4

Ik vond het verhaal zo mooi dat ik naar wegen zocht om het met mijn leerlingen te delen. Gelukkig is er in 2004 door Granada films een maar liefst 204 minuten durende televisieserie en daarvan afgeleide speelfilm uitgebracht. Deze is ook Nederlands ondertiteld te koop. De hoofdrollen worden gespeeld door niemand minder Michael Gambon (Harrison) en Jeremy Irons (Gould). Wat een fantastische film! Door vertoning aan mijn klassen heb ik deze “gedramatiseerde documentaire” wel tien keer gezien en het verveelde me nooit er naar te kijken.

Er zijn verschillen tussen boek en film. In de film wordt parallel aan de historie van Harrison het verhaal van Rupert Gould verteld. Dat gebeurt in het boek niet. In het boek wordt Gould wel genoemd op enkele bladzijden, maar dan is het ook wel op. Gould was een marineofficier die zich, na een nervous-breakdown, stortte op zijn hobby, tijdmeting. Het was misschien eerder een obsessie dan een hobby. Hij offerde zijn huwelijk en zijn gezondheid op om de uurwerken van Harrison te restaureren. De restauratie zou hem een groot deel van zijn verdere leven bezighouden. Gould was vooral gepassioneerd door oude tijdmeting. Zo schreef hij, na nauwkeurige research, het definitieve werk over de marinechronometer. In 1920 ontdekte hij de klokken van Harrison, die lagen te verkommeren in de opslagplaatsen van het Royal Observatory.

Rupert Gould is in de film veel prominenter aanwezig dan in het boek van Sobel. De levens van de twee mannen die op een bepaalde manier op elkaar lijken, hoewel ze uit heel verschillende klassen stammen, worden in de film in elkaar gevlochten. Door de vervlechting van de levens van de twee markante mannen ontstaat er een bijzondere filmische spanning waardoor het verhaal aan kracht wint.

Dankzij Goulds inspanning kunnen we de chronometers van Harrison in werking zien in het wereldberoemde National Maritime Museum in Greenwich. Zoals ik al eerder schreef: ik heb ze mogen bewonderen. Ik raad iedereen met bèta-mentality en sowieso iedere bèta-docent aan een keer een blik te werpen op dit prachtig staaltje achttiende eeuwse technologie. Het boek lezen en de film zien dragen bij aan je algemene natuurwetenschappelijke ontwikkeling. Boek en film zijn bruikbaar als referentie in bèta-lessen.

Rupert Gould met een van de chronometers van Harrison






Newton's Clock door Ivars Peterson

LezenPosted by Hans Schipper Sun, December 02, 2018 17:12:15

Peterson vergelijkt de groei van zijn eigen belangstelling in astronomie tijdens zijn kindertijd in de Canadese provincie Ontario met de geleidelijke ontwikkeling van de Astronomie door de eeuwen heen van Ptolemeus tot de huidige geavanceerde inzichten. Hij vertelt ons hoe wiskundige beschrijvingen van het zonnestelsel geleidelijk van de kristalbollen van Ptolemeus zijn ontwikkeld naar ons huidige begrip van het zonnestelsel.

Daarbij geeft hij prachtige voorbeelden van fysische concepten.


In hoofdstuk 1 laat hij met een mooie tekening zien wat “sensitive dependence on initial conditions” betekent. Twee balletjes worden onder slechts een zeer kleine verschilhoek een soort flipperkast binnen geschoten. Door successievelijke botsingen is de uitkomst totaal het tegenover gestelde.

Bron: Wikipedia

Hoofdstuk 2 wordt geopend met het verhaal van de ontdekking en aansluitend de analyse van het Antikythera Mechanisme. Het betreft een ingewikkeld bronzen apparaat dat rond 1900 door de Griekse sponsduikers wordt gevonden en gedateerd is op 87 B.C. Dit ingewikkelde artefact lijkt te zijn gemaakt door een vakman uit de school van Posidonios, een prominente astronoom op het eiland Rhodos. Het is 'een elegante simulatie van de hemel' - de vroegst bekende simulatie van de bewegingen van hemellichamen. Een ander hoogtepunt van hoofdstuk 2 is het verhaal waarin verteld wordt hoe een boek met tafels, samengesteld door de Duitse astronoom Regiomontanus, jaren later de huid redde van niemand minder dan Columbus op het eiland Jamaica. Het laatste is het “petite histoire” dat het boek ook nog eens zo leuk maakt naast de diepzinnigheid die het vooral heeft.

Vervolgens leren we van de strijd van Johannes Kepler om iets tot stand te brengen te midden van de chaos van het gezin van Tycho Brahe. Hij ging er heen in 1600 om Brahe's schatkist van astronomische gegevens te bestuderen. Maar Brahe was erg gierig met zijn data en probeerde het genie van de jonge Kepler vooral te gebruiken om een ​​rivaal te bestrijden. Ondanks deze en andere belemmeringen heeft Kepler een nieuw type telescoop uitgevonden en andere bijdragen aan de optica geleverd. Maar de kern van Keplers werk was het ontwikkelen van het idee dat planeten bewegen onder invloed van krachten in plaats van alleen in overeenstemming met een perfecte formule. Dit concept legde de basis voor Newton's theorie.

Newton's Principia, gepubliceerd in 1687, legde een solide theoretische basis onder de sterrenkunde. Na de ontdekking van Uranus door William Herschel in het voorjaar van 1781, werden zijn principes gebruikt door Le Verrier om de positie van de planeet te voorspellen die de baan van Uranus zou verstoren. Zoeken door de Berlijnse sterrenwacht deed Neptunus snel vinden op de aangewezen plek. Maar toch denkt men tegenwoordig dat Le Verrier met zijn berekeningen meerdere punten had kunnen aanwijzen voor Neptunus en dat het een kwestie van geluk was dat deze door hem aangewezen plek ook echt de planeet opleverde …

Met dezelfde methode werd uiteindelijk ook Pluto gevonden en toch zit daar ook een theoretisch probleem.

Zelfs in Newton's tijd, beseft men dat de maan een baan volgt op een ingewikkelde manieren die de theorie niet kan verklaren. Zelfs de grote Laplace, meer dan een eeuw later, kon de discrepantie niet verklaren. En heden ten dage kunnen we het nog steeds niet. En we weten nu dat Pluto te klein is om de waargenomen afwijkingen in de baan van Neptunus te veroorzaken. Andere mysteries bestaan: de centrale vraag is of het zonnestelsel echt stabiel is. Maar ondanks onze veel grotere rekencapaciteiten kunnen we de bewegingen van de planeten op lange termijn niet voorspellen.

Het boek beschrijft de beweging van de Maan in Hoofdstuk 6 en brengt ons vervolgens bij Henri Poincaré, de Franse wiskundige die als eerste schreef over wat we in de wetenschap chaos noemen.

Prachtig vind ik de beschrijving van het effect van resonantie op de instabiliteit van de baan van een kleine planeet (bladzijde 184). Resonantie is een sleutelbegrip in de bestudering van de stabiliteit van banen van allerlei ruimtelichamen, maar het heeft misschien wel tegenovergestelde consequenties.

Saturnus-maan Hyperion, die in zijn baan tuimelt, levert het eerste solide bewijs van chaotisch gedrag. Deze bevestiging berust op het werk van James Klaverter in 1987. Indrukwekkend is de beschrijving van het geavanceerde computergebruik om de ontwikkeling van de toestand van het zonnestelsel over honderden miljoenen jaren uit te rekenen.

Het boek vertelt een fascinerend verhaal.





Next »